Код хемминга с исправлением одиночных ошибок

Содержание

Код Хэмминга. Пример работы алгоритма / Хабр На сегодняшний день в мире передается огромное количество информации, хотя системы передачи данных отвечают всем требованиям. Они не являются столь совершенными. 

Вступление.

Прежде всего стоит сказать, что такое Код Хэмминга и для чего он, собственно, нужен. На Википедии даётся следующее определение:

Другими словами, это алгоритм, который позволяет закодировать какое-либо информационное сообщение определённым образом и после передачи (например по сети) определить появилась ли какая-то ошибка в этом сообщении (к примеру из-за помех) и, при возможности, восстановить это сообщение. Сегодня, я опишу самый простой алгоритм Хемминга, который может исправлять лишь одну ошибку.

Также стоит отметить, что существуют более совершенные модификации данного алгоритма, которые позволяют обнаруживать (и если возможно исправлять) большее количество ошибок.

Сразу стоит сказать, что Код Хэмминга состоит из двух частей. Первая часть кодирует исходное сообщение, вставляя в него в определённых местах контрольные биты (вычисленные особым образом). Вторая часть получает входящее сообщение и заново вычисляет контрольные биты (по тому же алгоритму, что и первая часть). Если все вновь вычисленные контрольные биты совпадают с полученными, то сообщение получено без ошибок. В противном случае, выводится сообщение об ошибке и при возможности ошибка исправляется.

Как это работает.

Для того, чтобы понять работу данного алгоритма, рассмотрим пример.

Подготовка

Допустим, у нас есть сообщение «habr», которое необходимо передать без ошибок. Для этого сначала нужно наше сообщение закодировать при помощи Кода Хэмминга. Нам необходимо представить его в бинарном виде.

На этом этапе стоит определиться с, так называемой, длиной информационного слова, то есть длиной строки из нулей и единиц, которые мы будем кодировать. Допустим, у нас длина слова будет равна 16. Таким образом, нам необходимо разделить наше исходное сообщение («habr») на блоки по 16 бит, которые мы будем потом кодировать отдельно друг от друга. Так как один символ занимает в памяти 8 бит, то в одно кодируемое слово помещается ровно два ASCII символа. Итак, мы получили две бинарные строки по 16 бит:

И

После этого процесс кодирования распараллеливается, и две части сообщения («ha» и «br») кодируются независимо друг от друга. Рассмотрим, как это делается на примере первой части.
Прежде всего, необходимо вставить контрольные биты. Они вставляются в строго определённых местах — это позиции с номерами, равными степеням двойки. В нашем случае (при длине информационного слова в 16 бит) это будут позиции 1, 2, 4, 8, 16. Соответственно, у нас получилось 5 контрольных бит (выделены красным цветом):

Было:

Стало:

Таким образом, длина всего сообщения увеличилась на 5 бит. До вычисления самих контрольных бит, мы присвоили им значение «0».

Вычисление контрольных бит.

Теперь необходимо вычислить значение каждого контрольного бита. Значение каждого контрольного бита зависит от значений информационных бит (как неожиданно), но не от всех, а только от тех, которые этот контрольных бит контролирует. Для того, чтобы понять, за какие биты отвечает каждых контрольный бит необходимо понять очень простую закономерность: контрольный бит с номером N контролирует все последующие N бит через каждые N бит, начиная с позиции N. Не очень понятно, но по картинке, думаю, станет яснее:

Здесь знаком «X» обозначены те биты, которые контролирует контрольный бит, номер которого справа. То есть, к примеру, бит номер 12 контролируется битами с номерами 4 и 8. Ясно, что чтобы узнать какими битами контролируется бит с номером N надо просто разложить N по степеням двойки.

Но как же вычислить значение каждого контрольного бита? Делается это очень просто: берём каждый контрольный бит и смотрим сколько среди контролируемых им битов единиц, получаем некоторое целое число и, если оно чётное, то ставим ноль, в противном случае ставим единицу. Вот и всё! Можно конечно и наоборот, если число чётное, то ставим единицу, в противном случае, ставим 0. Главное, чтобы в «кодирующей» и «декодирующей» частях алгоритм был одинаков. (Мы будем применять первый вариант).
Высчитав контрольные биты для нашего информационного слова получаем следующее:

И для второй части:

Вот и всё! Первая часть алгоритма завершена.

Декодирование и исправление ошибок.

Теперь, допустим, мы получили закодированное первой частью алгоритма сообщение, но оно пришло к нас с ошибкой. К примеру мы получили такое (11-ый бит передался неправильно):

Вся вторая часть алгоритма заключается в том, что необходимо заново вычислить все контрольные биты (так же как и в первой части) и сравнить их с контрольными битами, которые мы получили. Так, посчитав контрольные биты с неправильным 11-ым битом мы получим такую картину:

Как мы видим, контрольные биты под номерами: 1, 2, 8 не совпадают с такими же контрольными битами, которые мы получили. Теперь просто сложив номера позиций неправильных контрольных бит (1 + 2 + 8 = 11) мы получаем позицию ошибочного бита. Теперь просто инвертировав его и отбросив контрольные биты, мы получим исходное сообщение в первозданном виде! Абсолютно аналогично поступаем со второй частью сообщения.

Заключение.

В данном примере, я взял длину информационного сообщения именно 16 бит, так как мне кажется, что она наиболее оптимальная для рассмотрения примера (не слишком длинная и не слишком короткая), но конечно же длину можно взять любую. Только стоит учитывать, что в данной простой версии алгоритма на одно информационное слово можно исправить только одну ошибку.

Примечание.

На написание этого топика меня подвигло то, что в поиске я не нашёл на Хабре статей на эту тему (чему я был крайне удивлён). Поэтому я решил отчасти исправить эту ситуацию и максимально подробно показать как этот алгоритм работает. Я намеренно не приводил ни одной формулы, дабы попытаться своими словами донести процесс работы алгоритма на примере.

Помехоустойчивое кодирование. Коды Хэмминга

Назначение помехоустойчивого кодирования – защита информации от помех и ошибок при передаче и хранении информации. Помехоустойчивое кодирование необходимо для устранения ошибок, которые возникают в процессе передачи, хранения информации. При передачи информации по каналу связи возникают помехи, ошибки и небольшая часть информации теряется.

Без использования помехоустойчивого кодирования было бы невозможно передавать большие объемы информации (файлы), т. к. в любой системе передачи и хранении информации неизбежно возникают ошибки.

Рассмотрим пример CD диска. Там информация хранится прямо на поверхности диска, в углублениях, из-за того, что все дорожки на поверхности, часто диск хватаем пальцами, елозим по столу и из-за этого без помехоустойчивого кодирования, информацию извлечь не получится.

Использование кодирования позволяет извлекать информацию без потерь даже с поврежденного CD/DVD диска, когда какая либо область становится недоступной для считывания.

В зависимости от того, используется в системе обнаружение или исправление ошибок с помощью помехоустойчивого кода, различают следующие варианты:

Возможен также гибридный вариант, чтобы лишний раз не гонять информацию по каналу связи, например получили пакет информации, попробовали его исправить, и если не смогли исправить, тогда отправляется запрос на повторную передачу.

Исправление ошибок в помехоустойчивом кодировании

Любое помехоустойчивое кодирование добавляет избыточность, за счет чего и появляется возможность восстановить информацию при частичной потере данных в канале связи (носителе информации при хранении). В случае эффективного кодирования убирали избыточность, а в помехоустойчивом кодировании добавляется контролируемая избыточность.

Простейший пример – мажоритарный метод, он же многократная передача, в котором один символ передается многократно, а на приемной стороне принимается решение о том символе, количество которых больше.

Допустим есть 4 символа информации, А, B, С, D, и эту информацию повторяем несколько раз. В процессе передачи информации по каналу связи, где-то возникла ошибка. Есть три пакета (A1B1C1D1|A2B2C2D2|A3B3C3D3), которые должны нести одну и ту же информацию.

Но из картинки справа, видно, что второй символ (B1 и C1) они отличаются друг от друга, хотя должны были быть одинаковыми. То что они отличаются, говорит о том, что есть ошибка.

Необходимо найти ошибку с помощью голосования, каких символов больше, символов В или символов С? Явно символов В больше, чем символов С, соответственно принимаем решение, что передавался символ В, а символ С ошибочный.

Для исправления ошибок нужно, как минимум 3 пакета информации, для обнаружения, как минимум 2 пакета информации.

Параметры помехоустойчивого кодирования

Первый параметр, Скорость кода R характеризует долю информационных («полезных») данных в сообщении и определяется выражением: R=k/n=k/m+k

Параметры n и k часто приводят вместе с наименованием кода для его однозначной идентификации. Например, код Хэмминга (7,4) значит, что на вход кодера приходит 4 символа, на выходе 7 символов, Рида-Соломона (15, 11) и т. д.

Второй параметр, Кратность обнаруживаемых ошибок – количество ошибочных символов, которые код может обнаружить.

Третий параметр, Кратность исправляемых ошибок – количество ошибочных символов, которые код может исправить (обозначается буквой t).

Контроль чётности

Самый простой метод помехоустойчивого кодирования это добавление одного бита четности. Есть некое информационное сообщение, состоящее из 8 бит, добавим девятый бит.

Если нечетное количество единиц, добавляем 0.

1 0 1 0 0 1 0 0 | 0

Если четное количество единиц, добавляем 1.

1 1 0 1 0 1 0 0 | 1

Если принятый бит чётности не совпадает с рассчитанным битом чётности, то считается, что произошла ошибка.

1 1 0 0 0 1 0 0 | 1

Под кратностью понимается, всевозможные ошибки, которые можно обнаружить. В этом случае, кратность исправляемых ошибок 0, так как мы не можем исправить ошибки, а кратность обнаруживаемых 1.

Есть последовательность 0 и 1, и из этой последовательности составим прямоугольную матрицу размера 4 на 4. Затем для каждой строки и столбца посчитаем бит четности.

Прямоугольный код – код с контролем четности, позволяющий исправить одну ошибку:

И если в процессе передачи информации допустим ошибку (ошибка нолик вместо единицы, желтым цветом), начинаем делать проверку. Нашли ошибку во втором столбце, третьей строке по координатам. Чтобы исправить ошибку, просто инвертируем 1 в 0, тем самым ошибка исправляется.

Этот прямоугольный код исправляет все одно-битные ошибки, но не все двух-битные и трех-битные.

Рассчитаем скорость кода для:

Здесь R=16/24=0,66 (картинка выше, двадцать пятую единичку (бит четности) не учитываем)

Более эффективный с точки зрения скорости является первый вариант, но зато мы не можем с помощью него исправлять ошибки, а с помощью прямоугольного кода можно. Сейчас на практике прямоугольный код не используется, но логика работы многих помехоустойчивых кодов основана именно на прямоугольном коде.

Классификация помехоустойчивых кодов

По используемому алфавиту:

Блочные коды делятся на

В случае систематических кодов, выходной блок в явном виде содержит в себе, то что пришло на вход, а в случае несистематического кода, глядя на выходной блок нельзя понять что было на входе.

Смотря на картинку выше, код 1 1 0 0 0 1 0 0 | 1 является систематическим, на вход поступило 8 бит, а на выходе кодера 9 бит, которые в явном виде содержат в себе 8 бит информационных и один проверочный.

Код Хэмминга

Код Хэмминга — наиболее известный из первых самоконтролирующихся и самокорректирующихся кодов. Позволяет устранить одну ошибку и находить двойную.

Код Хэмминга (7,4) — 4 бита на входе кодера и 7 на выходе, следовательно 3 проверочных бита. С 1 по 4 информационные биты, с 6 по 7 проверочные (см. табл. выше). Пятый проверочный бит y5, это сумма по модулю два 1-3 информационных бит. Сумма по модулю 2 это вычисление бита чётности.

Декодирование кода Хэмминга

Декодирование происходит через вычисление синдрома по выражениям:

Синдром это сложение бит по модулю два. Если синдром не нулевой, то исправление ошибки происходит по таблице декодирования:

Расстояние Хэмминга

Расстояние Хэмминга — число позиций, в которых соответствующие символы двух кодовых слов одинаковой длины различны. Если рассматривать два кодовых слова, (пример на картинке ниже, 1 0 1 1 0 0 1 и 1 0 0 1 1 0 1) видно что они отличаются друг от друга на два символа, соответственно расстояние Хэмминга равно 2.

Кратность исправляемых ошибок и обнаруживаемых, связано минимальным расстоянием Хэмминга. Любой помехоустойчивый код добавляет избыточность с целью увеличить минимальное расстояние Хэмминга. Именно минимальное расстояние Хэмминга определяет помехоустойчивость.

Помехоустойчивые коды

Современные коды более эффективны по сравнению с рассматриваемыми примерами. В таблице ниже приведены Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ)

Из таблицы видим, что там один класс кода БЧХ, но разные параметры n и k.

Несмотря на то, что скорость кода близка, количество исправляемых ошибок может быть разное. Количество исправляемых ошибок зависит от той избыточности, которую добавим и от размера блока. Чем больше блок, тем больше ошибок он исправляет, даже при той же самой избыточности.

Пример: помехоустойчивые коды и двоичная фазовая манипуляция (2-ФМн). На графике зависимость отношения сигнал шум (Eb/No) от вероятности ошибки. За счет применения помехоустойчивых кодов улучшается помехоустойчивость.

Из графика видим, код Хэмминга (7,4) на сколько увеличилась помехоустойчивость? Всего на пол Дб это мало, если применить код БЧХ (127, 64) выиграем порядка 4 дБ, это хороший показатель.

Компромиссы при использовании помехоустойчивых кодов

Чем расплачиваемся за помехоустойчивые коды? Добавили избыточность, соответственно эту избыточность тоже нужно передавать. Нужно: увеличивать пропускную способность канала связи, либо увеличивать длительность передачи.

Необходимость чередования (перемежения)

Все помехоустойчивые коды могут исправлять только ограниченное количество ошибок t. Однако в реальных системах связи часто возникают ситуации сгруппированных ошибок, когда в течение непродолжительного времени количество ошибок превышает t.

Например, в канале связи шумов мало, все передается хорошо, ошибки возникают редко, но вдруг возникла импульсная помеха или замирания, которые повредили на некоторое время процесс передачи, и потерялся большой кусок информации. В среднем на блок приходится одна, две ошибки, а в нашем примере потерялся целый блок, включая информационные и проверочные биты. Сможет ли помехоустойчивый код исправить такую ошибку? Эта проблема решаема за счет перемежения.

Пример блочного перемежения:

На картинке, всего 5 блоков (с 1 по 25). Код работает исправляя ошибки в рамках одного блока (если в одном блоке 1 ошибка, код его исправит, а если две то нет). В канал связи отдается информация не последовательно, а в перемешку. На выходе кодера сформировались 5 блоков и эти 5 блоков будем отдавать не по очереди а в перемешку. Записали всё по строкам, но считывать будем, чтобы отправлять в канал связи, по столбцам. Информация в блоках перемешалась. В канале связи возникла ошибка и мы потеряли большой кусок. В процессе приема, мы опять составляем таблицу, записываем по столбцам, но считываем по строкам. За счет того, что мы перемешали большое количество блоков между собой, групповая ошибка равномерно распределится по блокам.

Курсовая работа Код Хемминга
Учебно-методическое пособие по информатике и икт (10, 11 класс) по теме

На сегодняшний день в мире передается огромное количество информации, хотя системы передачи данных отвечают всем требованиям. Они не являются столь совершенными.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

«Омский государственный педагогический университет»

Факультет математики, информатики, физики и технологии

Кафедра прикладной информатики и математики

Направление: педагогическое образование

Профиль: Информатика и Технология

Дисциплина: Теоретические основы информатики

«__» _______________ 20___г.

Введение

На сегодняшний день в мире передается огромное количество информации, хотя системы передачи данных отвечают всем требованиям. Они не являются столь совершенными. При передаче данных могут возникать помехи. Помехоустойчивость – способность системы осуществлять прием информации в условиях наличия помех в линии связи и искажений во внутри аппаратных трактах. Помехоустойчивость обеспечивает надежность и достоверность передаваемой информации (данных).Управление правильностью передачи информации выполняется с помощью помехоустойчивого кодирования. Есть коды, обнаруживающие ошибки, и корректирующие коды, которые еще и исправляют ошибки. Помехозащищенность достигается с помощью введения избыточности, дополнительных битов. В симплексных каналах связи устраняют ошибки с помощью корректирующих кодов. В дуплексных–достаточно применения кодов, обнаруживающих ошибки. [1]

История развития помехоустойчивого кодирования началась еще с 1946г., а именно, после публикации монографии американского ученого К. Шеннона «Работы по теории информации и кибернетике».В этой работе он не показал как построить эти коды, а доказал их существование. Важно отметить, что результаты работы К. Шеннона опирались на работы советских ученых, таких как: А. Я. Хинчин, Р. Р. Варшамов и др. На сегодняшний день проблема передачи данных является особо актуальной, т. к. сбой при передаче может вызвать не только искажение сообщения в целом, но и полную потерю информации. Для этого и существуют помехоустойчивые коды, способные предотвратить потерю и искажение информации. В настоящее время существует ряд разновидностей помехоустойчивых кодов, обеспечивающих высокую достоверность при малой величине избыточности и простоте технической реализации кодирующих и декодирующих устройств. Принципиально коды могут быть использованы как для обнаружения, так и для исправления ошибок. Однако удобства построения кодирующих и декодирующих устройств определили преимущественное применение лишь некоторых из них, в частности корректирующего кода Хемминга.

Цель данной курсовой работы: Ознакомление с помехоустойчивым кодированием и изучение кода Хемминга.

1) Ознакомиться с видами помехоустойчивого кодирования;

2) Ознакомиться с кодом Хемминга, как с одним из видов помехоустойчивого кодирования;

3) Изучить алгоритм построения кода Хемминга.

Объект исследования : помехоустойчивое кодирование.

Предмет исследования : код Хемминга.

Данная курсовая работа состоит из титульного листа, оглавления, введения, двух глав (теоретической и практической), заключения и списка литературы.

Глава 1. Теоретические основы изучения помехоустойчивого кодирования

1.1. Виды помехоустойчивого кодирования

В мире существует немало различных помех и искажений, это могут быть как звуковые искажения, так и на графике. Мы рассмотрим, что понимается под помехой в кодировании информации. Под помехой понимается любое воздействие, накладывающееся на полезный сигнал изатрудняющее его прием. Ниже приведена классификация помех и их источников.

Рис. 1.Помехи и их источники

Внешние источники помех вызывают в основном импульсные помехи, а внутренние – флуктуационные. Помехи, накладываясь на видеосигнал, приводят к двум типам искажений: краевыеи дробления. Краевые искажения связаны со смещением переднего или заднего фронта импульса. Дробление связано с дроблением единого видеосигнала на некоторое количество более коротких сигналов [2].

Приведем классификацию помехоустойчивых кодов.

1) Обнаруживающие ошибки:

2) Корректирующие коды:

А) С пороговым декодированием;

Б) По макс. правдоподобия;

В) С последовательным декодированием.

Теперь рассмотрим более подробно каждый вид кодирования.

Проверка четности – очень простой метод для обнаружения ошибок в передаваемом пакете данных. С помощью данного кода мы не можем восстановить данные, но можем обнаружить только лишь одиночную ошибку.

В каждом пакет данных есть один бит четности, или, так называемый, паритетный бит. Этот бит устанавливается во время записи (или отправки) данных, и затем рассчитывается и сравнивается во время чтения (получения) данных. Он равен сумме по модулю 2 всех бит данных в пакете. То есть число единиц в пакете всегда будет четно. Изменение этого бита (например с 0 на 1) сообщает о возникшей ошибке.

Начальные данные: 1111

Данные после кодирования: 11110 (1 + 1 + 1 + 1 = 0 (mod 2))

Принятые данные: 10110 (изменился второй бит)

Как мы видим, количество единиц в принятом пакете нечетно, следовательно, при передаче произошла ошибка [3].

Корреляционные коды (код с удвоением ).

Элементы данного кода заменяются двумя символами, единица «1» преобразуется в 10, а ноль «0» в 01.

Вместо комбинации 1010011 передается 10011001011010. Ошибка обнаруживается в том случае, если в парных элементах будут одинаковые символы 00 или 11 (вместо 01 и 10) [2].

Код с постоянным весом.

Одним из простейших блочных неразделимых кодов является код с постоянным весом. Примером такого кода может служить семибитный телеграфный код МТК–3, в котором каждая разрешенная кодовая комбинация содержит три единицы и четыре нуля (рис.2). Весом кодовой комбинации называют число содержащихся в ней единиц. В рассматриваемом коде вес кодовых комбинаций равен трем.

Число разрешенных кодовых комбинаций в кодах с постоянным весом определяется как количество сочетаний из n символов по g и равно

Рис.2. Примеры разрешенных и запрещенных комбинаций кода МТК-3

К исходной комбинации добавляется такая же комбинация по длине. В линию посылается удвоенное число символов. Если в исходной комбинации четное число единиц, то добавляемая комбинация повторяет исходную комбинацию, если нечетное, то добавляемая комбинация является инверсной по отношению к исходной.

Прием инверсного кода осуществляется в два этапа. На первом этапе суммируются единицы в первой основной группе символов. Если число единиц четное, то контрольные символы принимаются без изменения, если нечетное, то контрольные символы инвертируются. На втором этапе контрольные символы суммируются с информационными символами по модулю два. Нулевая сумма говорит об отсутствии ошибок. При ненулевой сумме, принятая комбинация бракуется. Покажем суммирование для принятых комбинаций без ошибок (1,3) и с ошибками (2,4).

По сравнению с простым кодом, код Грея позволяет уменьшить ошибки неоднозначности считывания, а также ошибки из-за помех в канале. Обычно этот код применяется для аналогово-цифрового преобразования непрерывных сообщений.

Недостатком кода Грея является его невесомость, т. е. вес единицы не определяется номером разряда. Информацию в таком виде трудно обрабатывать на ЭВМ. Декодирование кода также связано с большими затратами. Поэтому перед вводом в ЭВМ (или перед декодированием) код Грея преобразуется в простой двоичный код, который удобен для ЭВМ и легко декодируется.

Для перевода простого двоичного кода в код Грея нужно:

Таким образом, мы рассмотрели виды помехоустойчивого кодирования и увидели, что их существует не так уж и мало. Каждый код по своему уникален и полезен для кодирования информации. Теперь мы ознакомимся с кодом Хемминга подробнее.

1.2.Характеристика кода Хэмминга при помехоустойчивом кодировании

В середине 40-х годов Ричард Хемминг работал в знаменитых Лабораториях Белла на счётной машине Bell Model V. Это была электромеханическая машина, использующая релейные блоки, скорость которых была очень низка: один оборот за несколько секунд. Данные вводились в машине с помощью перфокарт, и поэтому в процессе чтения часто происходили ошибки. В рабочие дни использовались специальные коды, чтобы обнаруживать и исправлять найденные ошибки, при этом оператор узнавал об ошибке по свечению лампочек, исправлял и запускал машину. В выходные дни, когда не было операторов, при возникновении ошибки машина автоматически выходила из программы и запускала другую.

Р. Хемминг часто работал в выходные дни, и все больше и больше раздражался, потому что часто был должен перегружать свою программу из-за ненадежности перфокарт. На протяжении нескольких лет он проводил много времени над построением эффективных алгоритмов исправления ошибок. В 1950 году он опубликовал способ, который на сегодняшний день мы знаем как код Хемминга.[6.].

К ним обычно относятся коды с минимальным кодовым расстоянием исправляющие все одиночные ошибки, и коды с расстоянием исправляющие все одиночные и обнаруживающие все двойные ошибки. Длина кода Хэмминга:

(r – количество проверочных разрядов).

Рис.3. Проверочная матрица

Перестановкой столбцов, содержащих одну единицу, данную матрицу можно привести к виду(рис.4)

Рис. 4.Измененная матрица

Использование такого кода позволяет исправить любую одиночную ошибку или обнаружить произвольную ошибку кратности два. Если информационные и проверочные разряды кода нумеровать слева направо, то в соответствии с матрицей получаем систему проверочных уравнений, с помощью которых вычисляем проверочные разряды(рис.5):

Рис.5. Система проверочных уравнений

Двоичный код Хэмминга с кодовым расстоянием получается путем добавления к коду Хэмминга с одного проверочного разряда, представляющего собой результат суммирования по модулю два всех разрядов кодового слоя. Длина кода при этом разрядов, из которых являются проверочными.

Операция кодирования может выполняться в два этапа. На первом этапе определяется кодовая комбинация с использованием матрицы H, соответствующей коду с на втором — добавляется один проверочный разряд, в котором записывается результат суммирования по модулю два всех разрядов кодового слова, полученного на первом этапе. Операция декодирования также состоит из двух этапов. На первом вычисляется синдром, соответствующий коду на втором — проверяется последнее проверочное соотношение.[8]

Таким образом, ознакомившись с характеристикой кода Хемминга, важно сказать, что состоит код из двух частей и предполагает надежную работу нахождения ошибок и корректировки сообщений.

1.3.Алгоритмы использования кода Хэмминга для нахождения ошибок

Код Хэмминга представляет собой блочный код, который позволяет выявить и исправить ошибочно переданный бит в пределах переданного блока. Код Хэмминга состоит из двух частей. Первая часть кодирует исходное сообщение, вставляя в него в определённых местах контрольные биты (вычисленные особым образом). Вторая часть получает входящее сообщение и заново вычисляет контрольные биты (по тому же алгоритму, что и первая часть). Если все вновь вычисленные контрольные биты совпадают с полученными, то сообщение получено без ошибок. В противном случае, выводится сообщение об ошибке и при возможности ошибка исправляется.

Рассмотрим алгоритм построения кода для исправления одиночной ошибки.

Количество разрядов m – определяет количество проверок.

В третью проверку – коэффициенты которые содержат 1 в третьем разряде и т. д.

Источники:

Https://habr. com/ru/post/140611/

Https://zvondozvon. ru/radiosvyaz/kody-hemminga

Https://nsportal. ru/shkola/informatika-i-ikt/library/2016/10/03/kursovaya-rabota-kod-hemminga